學測數 A 公式筆記

此篇筆記整理自數 A 的複習講義，僅作學習之用
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數與式

雙重根號

• $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt a+\sqrt b$
• $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\left|\sqrt a-\sqrt b\right|$

乘法公式

• $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab\,(a+b)$
• $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=a^3-b^3-3ab\,(a-b)$
• $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)^3-3ab\,(a+b)$
• $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)^3+3ab\,(a-b)$

分點公式

• $P=\frac{na+mb}{m+n}$（乘以對面）

算幾不等式

• $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$（算數平均數 ≥ 幾何平均數）
• 會微分，此章可不學

多項式

除法原理

• $f(x)\div g(x)=q(x)\cdots r(x) \implies f(x)=g(x)\;q(x)+r(x)$

綜合除法

• 做一次 ⇒ 得商式和餘式
• 做到底（連續綜合除法） ⇒ 得泰勒展開式（$(x-a)$ 的多項式）
• 會微分，此章可不學

一／二／三次函數

• 三次函數的廣域特徵：$y=ax^3+bx^2+cx+d \to y=ax^3$
• 三次函數的局部特徵：即一次近似（$y=a_3\left(x-k\right)^3+a_2\left(x-k\right)^2+a_1\left(x-k\right)+a_0 \to y=a_1\left(x-k\right)+a_0$）
• 其他部分微分解決

直線與圓

斜率

• $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan\theta\;(\theta\ne90^\circ)$

直線方程式

• 點斜式：$y-y_0=m(x-x_0)$
• 斜截式：$y=mx+k$
• 截距式：當 $x$ 截距 $t$、$y$ 截距 $k$，$\frac xt+\frac yk=1\;(t,k\ne 0)$
• 一般式：$ax+by+c=0\;(b\ne0)$

解析幾何

• 中點坐標：$M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
• 兩點距離：$\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$
• 點到直線距離：$d(P,L)=\frac{\left|點代入\right|}{法長度}$
• 平行線距離：$d(L_1,L_2)=\frac{\left|常數差\right|}{法長度}$

四心

• 內心（Incentre）：三角平分線交點
• 外心（Circumcentre）：三中垂線交點
• 重心（Centroid）：三中線交點（中線比例為 2:1）
• 垂心（Orthocentre）：三高交點

二元一次不等式

• 解等式 → 代任意數 → 看正負
• 格子點：$x,y$ 均為整數時
• 解區域：數個不等式的交集區域

圓方程式

• 標準式：以 $O(h,k)$ 為圓心，$r$ 為半徑，圓方程式為 $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$
• 一般式：$x^2+y^2+dx+ey+f=0$
• 判別式：$D=d^2+e^2-4f$（用以判斷圓、點、無圖形）

點與圓

已知圓 $C:\;(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ 與點 $P(x_0,y_0)$，將 $P$ 坐標代入 $C$ 方程式

• $值>r^2$：$P$ 在圓外
• $值=r^2$：$P$ 在圓上
• $值<r^2$：$P$ 在圓內

若換以 $C:\;x^2+y^2+dx+ey+f=0$ 表示，$P$ 代入後

• $值>0$：$P$ 在圓外
• $值=0$：$P$ 在圓上
• $值<0$：$P$ 在圓內

直線與圓（推廣）

• 幾何判別法：比較直線 $L$ 與圓 $C$ 的距離 $d$ 與圓半徑 $r$ 大小（分別為相割、相切、相離）
• 代數判別法：直線方程式 $L$ 與圓方程式 $C$ 解聯立，得一元二次方程式，用其判別式 $D$ 判斷交點個數（分別為相割、相切、相離）

數列與級數

等差

• 等差數列（A.P.）：$a_n=a_m+(n-m)\,d$
• 等差中項：前後項平均數
• 等差級數：$S_n=\frac{(a_1+a_n)\,n}{2}=\frac{(2\,a_1+(n-1)\,d)\,n}{2}$（梯形公式）

等比

• 等比數列（G.P.）：$a_n=a_m\times r^{n-m}$
• 等比中項：$b=\pm\sqrt{ac}$
• 等比級數：$S_n=\begin{cases}n\times a_1&\text{, if }r=1\\ \frac{a_1\,(1-r^n)}{1-r}&\text{, if }r\ne1\end{cases}$

本利和

本金為 $x$、期利率為 $r\%$，求第 $n$ 期本利和

• 單利本利和：$x\left(1+r\%\cdot n\right)$
• 複利本利和：$x\left(1+r\%\right)^n$

級數求和

• $1+2+3+\cdots+n=\displaystyle\sum_{i=1}^n i=\frac{n\,(n+1)}{2}$（梯形公式）
• $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\displaystyle\sum_{i=1}^n i^2=\frac{n\,(n+1)(2n+1)}{6}$
• $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\displaystyle\sum_{i=1}^n i^3=\left(\frac{n\,\left(n+1\right)}{2}\right)^2$

數學歸納法（M.I.）

1. B.S.：當 $n=1$ 時，原式成立
2. I.H.：設 $n=k$ 時，原式成立
3. I.S.：則 $n=k+1$ 時，原式成立
4. Q.E.D. by M.I.

排列組合

笛摩根定律

• $\left(A \cup B\right)’=A’\cap B’$
• $\left(A \cap B\right)’=A’\cup B’$

取捨原理

• $n\left( A\cup B\right)=n\,(A)+n\,(B)-n\left(A\cap B\right)$
• $n\left(A \cup B \cup C\right)=n\,(A)+n\,(B)+n\,(C)-n\left(A \cap B\right)-n\left(B \cap C\right)-n\left(A \cap C\right)+n\left(A \cap B \cap C\right)$

計數原理

• 乘法原理：兩步驟分別有 $m$、$n$ 種方法，則完成該事件有 $m \times n$ 種方法
• 加法原理：兩種方案分別有 $p$、$q$ 種方法，則完成該事件有 $p+q$ 種方法

排列

• 完全相異物排列：$n$ 個相異物取 $r$ 個排，有 $P_r^n$ 種排法
• 限制兩物相鄰：視為同一物排完後，再取兩物互換位排法
• 限制兩物不相鄰：排完其他物後，再插空隙
• 其他位置限制：取捨原理計算排法
• 同物排列：$k$ 類物品，且第 $1$ 類有 $n_1$ 個同物、第 $2$ 類有 $n_2$ 個同物、……、第 $k$ 類有 $n_k$ 個同物，共有 $n$ 個物品，則共有 $\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times n_3! \times \cdots \times n_k!}$ 種
• 重複排列：從 $n$ 種不同物中選出 $r$ 個排列（可重複），則每個位置均有 $n$ 種選擇，故有 $n^r$ 種排法

組合

• 從 $n$ 個完全相異物中，不重複的取 $r$ 個（$r \le n$），且不計排列次序，則有 $C_r^n=\frac{P_r^n}{r!}$ 種方法
• $C_r^n=C_{n-r}^n$
• 巴斯卡定理：$n$ 個相異物中取 $r$ 個，若討論物品 $a$ 是否被選 → 分為有被選和沒被選兩種情形討論，再相加
• 分堆問題：$\frac{每堆分別處理後再相乘}{同堆數!}$

二項式定理

• $(x+y)^n=C_0^n\,x^n\,y^0+C_1^n\,x^{n-1}\,y^1+C_2^n\,x^{n-2}\,y^2+\cdots+C_n^n\,x^0\,y^n$

組合級數

令 $f(x)=(1+x)^n=C_0^n+C_1^n\,x^1+C_2^n\,x^2+\cdots+C_n^n\,x^n$

• $C_0^n+C_1^n+C_2^n+\cdots+C_n^n=f(1)=2^n$
• $C_0^n-C_1^n+C_2^n-C_3^n+\cdots=f(-1)=0$
• $C_0^n+C_2^n+C_4^n+C_6^n+\cdots=\frac{f(1)+f(-1)}{2}=2^{n-1}$
• $C_1^n+C_3^n+C_5^n+C_7^n+\cdots=\frac{f(1)-f(-1)}{2}$

機率與期望值

古典機率

• $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{事件 A 的樣本點個數}{樣本空間 S 的樣本點個數}$
• 互斥事件：$P\left(A \cap B\right)=0$

期望值

• $E=x_1\,P_1+x_2\,P_2+\cdots x_n\,P_n$（想像單個樣本點占的比例）

條件機率

• 在 $A$ 事件下（$P(A)\ne0$），$B$ 發生的機率（條件機率）為 $P(B\mid A)=\frac{P\left(A \cap B\right)}{P(A)}=\frac{n\left(A \cap B\right)}{n(A)}$
• $P\left(A \cap B\right)=P(A)\, P(B\mid A)$
• $P\left(A \cap B \cap C\right)=P(A)\, P(B\mid A)\, P\left(C\mid A\cap B\right)$

獨立事件

• $A$、$B$ 互不影響，即 $P\left(B\mid A\right)=P(B)$
• 二獨立事件滿足 $P\left(A \cap B\right)=P(A)\,P(B)$
• 三獨立事件滿足
  • $P\left(A \cap B\right)=P(A)\,P(B)$
  • $P\left(B \cap C\right)=P(B)\,P(C)$
  • $P\left(A \cap C\right)=P(A)\,P(C)$
  • $P\left(A \cap B \cap C\right)=P(A)\,P(B)\,P(C)$

數據分析

集中趨勢

• 算術平均數：$\mu=\frac1n\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)$
• 加權平均數：$w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}$
• 幾何平均數：$G=\sqrt[n]{x_1\,x_2\,\cdots x\,_n}$
• 中位數：排列後，中間的數（偶數項則取中間兩數平均）
• 眾數：出現最多次的數（可能不唯一）
• 百分位：將 $n$ 個數據由小到大排為 $a_1,a_2,\cdots,a_n$
  • 當 $m=n\times\frac{k}{100}$ 為整數，第 $k$ 百分位 $P_k=\frac{a_m+a_{m+1}}{2}$
  • 當 $m=n\times\frac{k}{100}$ 不為整數，且 $l<n\times\frac{k}{100}<l+1$（$l$ 為整數），第 $k$ 百分位 $P_k=a_{l+1}$
• 四分位數：$Q_1=P_{25},\;Q_2=P{50},\;Q_3=P_{75}$

分散趨勢

• 全距：$R=\max-\min$
• 標準差：$\sigma=\sqrt{\frac{\left(x_1-\mu\right)^2+\left(x_2-\mu\right)^2+\cdots+\left(x_n-\mu\right)^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}-\mu^2}$
• 變異數：$\sigma^2$

數據的伸縮平移

設有 $n$ 個數據 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，其算數平均數為 $\mu_x$，標準差為 $\sigma_x$

令 $y_i=ax_i+b\left(i=1,2,\cdots,n;\;a\ne0\right)$

• $\mu_y=a\mu_x+b$（平均值一起變）
• $\sigma_y=\left|a\right|\times\sigma_x$（標準差伸縮斜率倍）

標準化

• $x_i’=\frac{x_i-\mu}{\sigma}$
• $\mu’=0;\;\sigma’=1$

二維數據分析

相關係數

• $S_{xy}=(x_1-\mu_x)(y_1-\mu_y)+(x_2-\mu_x)(y_2-\mu_y)+\cdots+(x_n-\mu_x)(y_n-\mu_y)$
• $S_{xx}=(x_1-\mu_x)^2+(x_2-\mu_x)^2+\cdots+(x_n-\mu_x)^2$
• $S_{yy}=(y_1-\mu_y)^2+(y_2-\mu_y)^2+\cdots+(y_n-\mu_y)^2$
• 相關係數：$r=\frac{x_1’ y_1’+x_2’ y_2’+\cdots+x_n’ y_n’}{n}=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\sqrt{S_{yy}}}$（內積）
• 零相關：資料排列呈水平線、鉛直線、對稱，$r=0$
• 兩組數據伸縮平移：只影響 $r$ 的正負號（係數同號則不變、異號則加負號）

最小平方法與迴歸直線

• 找出直線 $L$，使其距離每個點的距離平方和最小，$L$ 即迴歸直線（最佳直線）
• 迴歸直線 VS 未標準化數據
  • $L$ 必過 $(\mu_x,\mu_y)$
  • $m=r\times\frac{\sigma_y}{\sigma_x}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$
  • $\implies L:\;y-\mu_y=m\,(x-\mu_x)$
• 迴歸直線 VS 已標準化數據
  • $L$ 必過 $(0,0)$
  • $m’=r$
  • $\implies L:\;y’=rx’$

指數與對數

指數律

• 整數指數：$a\ne0,n\in\mathbb N$，則 $a^0=1$ 且 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• 有理指數：$a>0,m\in\mathbb N$ 且 $n\ge2$，則 $a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]a$
• 指數律（實數）
  • $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
  • $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
  • $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$
  • $\left(ab\right)^n=a^n\cdot b^n$
  • $\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$

常用對數

• $10^t=k \iff \log_{10}k=t$
• $10^{\log k}=10^t=k,\log 10^t=\log k=t$

對數律

• $a>0,\;a\ne1,\;b>a$，則方程式 $a^x=b$ 有唯一實根 $x=\log_ab$
• $a^t=b \iff t=\log_ab$
• $b=a^{\log_ab}$
• $b=\log_aa^b$

三角比

三角函數值

• $\sin\theta=\frac{對}{斜},\;\cos\theta=\frac{鄰}{斜},\;\tan\theta=\frac{對}{鄰}$（口訣：對斜鄰斜對鄰）
• 求常見三角比：分母都是 $2$，分子為 $1,\sqrt2,\sqrt3$，畫單位圓看大小（單位圓上任一點 $P=(\cos\theta,\sin\theta)$）

基本關係式

• 平方：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
• 商數：$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
• 餘角：$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta;\;\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$

廣義角

• 任一點坐標 $P(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$
• 加／減角度 ⇒ 奇變偶不變，正負看象限

極坐標

• 若 $P$ 點到原點距離 $\overline{OP}=r$，且標準位置角為 $\theta$，則 $P=(x,y)=[r,\theta]$

正餘弦定理

• $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
• $a^2=b^2+c^2-2ab\cos A$（畢氏定理 + 修正值）
• $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

面積公式

設 $s=\frac{a+b+c}{2}$（半周長）

• $[\triangle ABC]=\frac12bc\sin A=\frac12ac\sin B=\frac12ab\sin C$
• $[\triangle ABC]=\frac{abc}{4R}$
• $[\triangle ABC]=rs$
• $[\triangle ABC]=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$（海龍公式）

此章內容常見於考卷尾的參考公式

三角函數

弳度

• 半徑為 $r$，弧長為 $s$ 的圓中，弧對應的圓心角為 $\theta=\frac sr$
• $180^\circ=\pi$
• $1^\circ=\frac{\pi}{180}$
• $1=(\frac{180}{\pi})^\circ\approx57.3^\circ$

扇形

扇形半徑為 $r$、圓心角為 $\theta$ 弳

• 弧長：$s=r\theta$
• 面積：$A=\frac12r^2\theta$

和差角

• $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta$（sin co + co sin）
• $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta$（sin co - co sin）
• $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta$（co co - sin sin）
• $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta$（co co + sin sin）
• $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}$
• $\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

倍角

• $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1$
• $\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$
• $\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$
• $\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$

半角

公式的正負看 $\frac\theta2$ 象限決定

• $\sin\frac\theta2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$
• $\cos\frac\theta2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$
• $\tan\frac\theta2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$

疊合

• $y=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,(\sin x\cos\theta+\cos x\sin\theta)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\theta)$（其中 $\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\;\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$）
• 最值：不限 $x$ 範圍時，$y$ 的最值為 $\pm\sqrt{a^2+b^2}$

平面向量

向量的運算

• 三角不等式（恆成立）：$\left|\vec a\right|+\left|\vec b\right|\ge\left|\vec a+\vec b\right|$（等號成立於同方向或其一為零向量）

重心性質

若 $G$ 為 $\triangle ABC$ 的重心

• $\vec{AG}=\frac13\vec{AB}+\frac13\vec{AC}$
• $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec0$
• $\vec{OG}=\frac13(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})$，其中 $O$ 為任意點

內積

• $\vec a\cdot\vec b=\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|\cos\theta=a_1\,b_1+a_2\,b_2$
• 性質：
  • $\vec a\cdot\vec a=\left|\vec a\right|^2$
  • 交換律：$\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$
  • 分配律：$\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c$
  • 乘法公式：
    • $\left|\vec a+\vec b\right|^2=\left|\vec a\right|^2+2\,\vec a\cdot\vec b+\left|\vec b\right|^2$
    • $(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=\left|\vec a\right|^2-\left|\vec b\right|^2$

內積的應用

• 求兩向量長度：用公式 $\left|向量\right|^2=自己的內積$
• 求兩向量夾角：$\cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|}\;(0^\circ\le\theta\le180^\circ)$
• 求兩線夾角：$\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right|\left|\vec{n_2}\right|},\;\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$

正射影

• $\vec b$ 在 $\vec a$ 上的正射影 $\vec c=\left(\frac{\vec a\cdot\vec b}{\left|\vec a\right|^2}\right)\vec a$
• $\vec b$ 在 $\vec a$ 上的正射影長 $\left|\vec c\right|=\frac{\left|\vec a\cdot\vec b\right|}{\left|\vec a\right|}$

柯西不等式

• 不等式 $\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|\ge\left|\vec a\cdot\vec b\right|$ 恆成立，且等號成立於 $\vec a\parallel\vec b\iff\vec a=t\vec b\;(t\in\mathbb R)$
• 不等式 $(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\ge(a_1\,b_1+a_2\,b_2)^2$ 恆成立，且等號成立於 $a_1=t\,b_1,a_2=t\,b_2\;(t\in\mathbb R)$（方和積 ≥ 積和方）

二階行列式

• $\begin{vmatrix}a&b \\ c&d \\ \end{vmatrix}=ad-bc$
• 由 $\vec{AB}=(p,q),\;\vec{AC}=(r,s)$ 決定的三角形面積 $[\triangle ABC]=\frac12\sqrt{\left|\vec{AB}\right|^2\left|\vec{AC}\right|^2-\left(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\right)^2}=\frac12\begin{vmatrix}p&q \\ r&s \\ \end{vmatrix}$

行列式性質

• 行列對調，值不變
• 兩行（列）對調，差負號
• 某行（列）可提出 $k$ 倍
• 某行（列）可分開
• 某行（列）成比例，其值為 $0$
• 某行（列）乘 $k$ 倍加到另一行（列），值不變

克拉瑪公式

給定 $\begin{cases}ax+by=p \\ cx+dy=q\end{cases}$

令 $\Delta=\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{vmatrix},\;\Delta_x=\begin{vmatrix} p&b \\ q&d \\ \end{vmatrix},\;\Delta_y=\begin{vmatrix} a&p \\ c&q \\ \end{vmatrix}$

• 恰一解：$\Delta\ne0,\;x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\;y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$
• 無限解：$\Delta=\Delta_x=\Delta_y=0$
• 無解：$\Delta=0$ 且 $\Delta_x,\Delta_y$ 有一不為 $0$

空間向量

二面角

• 面上各取一條與交線垂直的向量 → 算兩向量夾角 $\theta,\;180^\circ-\theta$

三垂線定理

• $\overline{AB}$ 垂直平面 $E$ 於 $B$ 點，直線 $L$ 在平面 $E$ 上，若 $\overline{BC}$ 垂直 $L$ 於 $C$，則 $\overline{AC}$ 與 $L$ 垂直

空間向量（推廣）

• $\left|\vec{AB}\right|=\sqrt{\Delta_x^2+\Delta_y^2+\Delta_z^2}$

空間向量的內積

• $\vec a\cdot\vec b=\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|\cos\theta=a_1\,b_1+a_2\,b_2+a_3\,b_3$
• $\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$
• 特性皆與二維向量相同
• 正射影與二維向量相同

柯西不等式（推廣）

• $\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|\ge\left|\vec a\cdot\vec b\right|$，等號成立於 $\vec a\parallel\vec b$
• 推廣方式同二維（方和積 ≥ 積和方）

外積

• $\vec c=\vec a\times\vec b=\left(\begin{vmatrix}a_2&a_3\\ b_2&b_3\\ \end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_3&a_1\\ b_3&b_1\\ \end{vmatrix},\begin{vmatrix}a_1&a_2\\ b_1&b_2\\ \end{vmatrix}\right)$（抄兩次，去頭尾，行列式）
• $\vec c$ 為 $\vec a$ 與 $\vec b$ 的公垂向量
• 性質：
  • $\vec a\times\vec b=-\left(\vec b\times\vec a\right)$
  • 若 $\vec n\perp\vec a$ 且 $\vec n\perp\vec b$，則 $\vec n\parallel\left(\vec a\times\vec b\right)$
  • $\left|\vec a\times\vec b\right|=\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|\sin\theta$

空間三角形面積

• 三角形 $[\triangle ABC]=\frac12\left|\vec{AB}\right|\left|\vec{AC}\right|\sin\theta=\frac12\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|$
• 平行四邊形 $[\text{▱}ABCD]=\left|\vec{AB}\right|\left|\vec{AC}\right|\sin\theta=\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|$

三階行列式

• $\begin{vmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{vmatrix}=(aei+bfg+cdh)-(ceg+bdi+afh)$ （左上右下 - 右上左下）
• 性質與二階相同

• 降階：

  $$ \begin{aligned} \begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix} &= a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix} && \text{（第一列降階展開）} \\ &= -d\begin{vmatrix}b&c\\h&i\end{vmatrix}+e\begin{vmatrix}a&c\\g&i\end{vmatrix}-f\begin{vmatrix}a&b\\g&h\end{vmatrix} && \text{（第二列降階展開）} \\ &= a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-d\begin{vmatrix}b&c\\h&i\end{vmatrix}+g\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix} && \text{（第一行降階展開）} \end{aligned} $$

空間體積公式

• 平行六面體 $V=\left|\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c\right|=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}$
• 四面體 $V’=\frac16V$
• $\vec a,\vec b,\vec c\text{ 共平面}\iff V=0$

空間中的平面與直線

平面

• 一般式：$a\,(x-x_0)+b\,(y-y_0)+c\,(z-z_0)=0\implies ax+by+cz=d$，其中 $\vec n=(a,b,c)$
• 截距式：若 $x,y,z$ 截距分別為 $a,b,c$，則 $E:\;\frac xa+\frac yb+\frac zc=1$，其中 $\vec n=\left(\frac1a,\frac1b,\frac1c\right)$；平面與三軸圍成的四面體 $[OABC]=\frac16\left|abc\right|$

兩平面夾角

• 求出兩平面法向量 $\vec{n_1},\vec{n_2}$，再用 $\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{\left|\vec{n_1}\right|\left|\vec{n_2}\right|},\;\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$

距離

• 點到平面：$d(A,E)=\frac{\left|點代入\right|}{法長度}$
• 兩平行面：$d(E_1,E_2)=\frac{\left|常數差\right|}{法長度}$

空間中的直線

• 比例式（對稱比例式）：若 $L$ 過點 $A(x_0,y_0,z_0)$，方向向量 $\vec v=(l,m,n)$
  • 若 $lmn\ne0,\;L:\;\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$
  • 若 $\vec v$ 分量有 $0$，如 $\vec v=(l,m,0),\;L:\;\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m},\,y=y_0$
• 參數式：$L:\;\begin{cases}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt\end{cases}\;,t\in\mathbb R$
• 兩面式：若兩平面相交於 $L,\;L:\;\begin{cases}a_1\,x+b_1\,y+c_1\,z=d_1\\ a_2\,x+b_2\,y+c_2\,z=d_2\end{cases}$

矩陣

高斯消去法

• 增廣矩陣：解聯立時，提出所有係數，放到矩陣中（常數項在等號右側）
• 矩陣列運算
  • 任二列可互換，值不變
  • 某列乘 $t$ 倍加到另一列，值不變
  • 某列乘非 $0$ 的數，值不變
• 高斯消去法：用列運算將增廣矩陣整理成 $\left[\begin{array}{ccc|c}a_1&b_1&c_1&d_1 \\ 0&a_2&b_2&c_2 \\ 0&0&c_3&d_3\end{array}\right]$

矩陣運算

設矩陣 $A,B,C$ 為同階矩陣，$r\in\mathbb R$

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)$
• $r(A+B)=rA+rB$
• 若 $A$ 為 $n$ 階方陣，則 $\det(rA)=r^n\det(A)$（$\det(A)$ 表示 $A$ 的行列式值）

矩陣乘法

• $\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\left[\begin{array}{cc} a & b \\ \hline c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{c|c} p & q \\ r & s \end{array}\right]= \begin{bmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{bmatrix}$
• 單位方陣 $I$：左上到右下對角線皆 $1$，其餘皆 $0$
• 性質：
  • 結合律
    • $(AB)C=A(BC)$
    • $(rA)(sB)=rs(AB)\;(r,s\in\mathbb R)$
  • 分配律
    • $A(B+C)=AB+AC$
    • $(A+B)C=AC+BC$
  • 無交換律：$AB=BA$ 不一定成立

反方陣

• $AB=BA=I_n\implies B=A^{-1},\;A=B^{-1}$
• $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d&-b\\ -c&a\end{bmatrix}\;(\text{if}\det A=0,\,A^{-1}\,\nexists)$

轉移矩陣

• 條件：
  • 每個元都是非負實數
  • 每行之和皆為 $1$
• 性質：
  • 轉移矩陣相乘也是轉移矩陣（$AB,BA,A^2,B^2$ 都是轉移矩陣）
  • 求平均後仍是轉移矩陣（$\frac12(A+B),\frac12(A^2+B^2)$ 也是轉移矩陣）
  • 轉移矩陣相減可能產生負元，故不一定是轉移矩陣（$\frac12(3A-B),\frac12(4A^2-2B^2)$ 不一定是轉移矩陣）
• 機率矩陣：$P=\begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}$ 滿足
  • $0\le x_1,x_2\le1$
  • $x_1+x_2=1$
• 馬可夫鏈：初始狀態機率為 $P_0$，狀態轉移的機率寫成轉移矩陣 $M$，則 $P_n=MP_{n-1}$；若 $MP=P$，則此時稱 $P$ 為穩定狀態

平面上的線性變換

• 坐標平面上任一點 $P(x,y)$ 經 $A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}$ 線性變換：$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$
• 圖形經線性變換後，$新圖面積=\left|\det A\right|\cdot 原圖面積$
• 常見的線性變換：
  • 伸縮矩陣：$\begin{bmatrix}h&0\\ 0&k\end{bmatrix}$（$x$ 伸縮 $h$ 倍、$y$ 伸縮 $k$ 倍）
  • 旋轉矩陣：$\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$
  • 鏡射矩陣：$\begin{bmatrix}\cos2\theta&\sin2\theta\\ \sin2\theta&-\cos2\theta\end{bmatrix}$
  • 水平推移矩陣：$\begin{bmatrix}1&h\\ 0&1\end{bmatrix}$（沿 $x$ 軸方向推移 $y$ 的 $h$ 倍）
  • 鉛直推移矩陣：$\begin{bmatrix}1&0\\ k&1\end{bmatrix}$（沿 $y$ 軸方向推移 $x$ 的 $k$ 倍）