新手都能看懂的羅必達法則

基本微分

1. 用符號「$’$」（讀作 prime）表示，$f’(x)=[f(x)]’$
   • 有時也會用 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(x)$ 表示
2. 常數項微分=0
3. $[a\cdot x^b]’=a\cdot b\cdot x^{b-1}$（次方拿下來，次方-1）
4. 多項式微分=每一項單獨微，再拼一起
   • e.g., $[3x^2+5x+7]’=3\cdot2x^1+5\cdot1x^0=6x+5$

微分公式

1. 乘法律：$[f(x)\cdot g(x)]’=f’(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g’(x)$
   • 口訣：前微後不微+後微前不微
   • 若有更多項相乘，就拆成更多項（每次只微其中一個）再相加
   • 除法：$[\frac{f(x)}{g(x)}]’=[f(x)\cdot g(x)^{-1}]’$ 再處理即可
   • 根號：$[\sqrt x]=[x^\frac12]$ 再處理即可
2. 連鎖律（chain rule）：$[f(g(x))]’=f’(g(x))\cdot g’(x)$
3. 三角函數
   • $[\sin x]’=\cos x$
   • $[\cos x]’=-\sin x$
   • 若是 $\sin(f(x))$ 或 $\cos(f(x))$，要記得 chain rule

不定形式（indeterminate）

1. 只會出現在做極限時，否則應該會是 D.N.E.（不存在）或 Undef（未定義）
2. 共有七種：
   • $\frac00$
   • $\frac\infty\infty$
   • $0\cdot\infty$
   • $\infty-\infty$
   • $1^\infty$
   • $\infty^0$
   • $0^0$
3. 只有 $\frac00$ 和 $\frac\infty\infty$ 適用，其餘都要先轉成這兩種形式
   • e.g., $0\cdot\infty \to \frac{0}{\frac1\infty} \to \frac00$

羅必達法則（L’Hôpital’s rule）

1. 可以用的條件（要全符合）
   • 可微函數（在趨近值的附近可微）
   • $\frac00$ 或 $\frac\infty\infty$
   • 在做極限
2. 做法：分子、分母都微分一次
   • 若羅一次後仍不定形式，可再羅一次

例子

1.

$$ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt x}{\sqrt{1+\sqrt x}-1} =\lim_{x\to0}\frac{\cancel{\frac12x^{-\frac12}}}{\frac12(1+\sqrt x)\cdot \cancel{\frac12x^{-\frac12}}} =\lim_{x\to0}\frac{2}{1+\sqrt x} =2 $$

1.

$$ \lim_{x\to1}\frac{\sin(x^2-1)}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{\cos(x^2-1)\cdot 2x}{1} =2 $$